Grundlagen Meßtechnik

Kapitel 2 - Signalkonditionierung

2.1.1 Linearisierung

Sensoren zeigen oft ein nichtlineares Verhalten. Auf einem Anzeigeinstrument (Meßgerät, Rechner, usw.) ist jedoch ein lineares Verhalten wünschenswert. Um dies zu erreichen, ist es erforderlich, die Kennlinie des Sensors so zu verändern, daß sie einen möglichst linearen Charakter bekommt. Hierfür bieten sich mehrere Möglichkeiten an:

Linearisierung

am Sensor

in der Signalkonditionierung

durch Tabellen

durch Polynome

2.1.1.1 Linearisierung am Sensor

Handelt es sich um Sensoren die ihre Meßgröße durch eine Widerstandsänderung angeben, dann wird eine Linearisierung durch das Parallelschalten eines Widerstandes erreicht, wobei sich im allgemeinen eine Resultierende S-förmige Fehler-Kennlinie ergibt (Bild 2.4). Um den Meßfehler möglichst gering zu halten, wird angestrebt, daß der Punkt des mittleren Arbeitsbereiches in den Wendepunkt der S-Kurve gelegt wird.

Eine Grundvoraussetzung für die Berechnung des Linearisierungswiderstandes ist die Definition des Arbeitsbereiches des Sensors. Mit ihm läßt sich der Fehler bei drei Punkten zu Null machen. Einen einfachen Näherungswert erhält man dadurch, daß man den gewünschten Temperaturbereich auf die Meßbereichsgrenzen legt (Bild 2.1). Die Linearisierungsbedingung ergibt sich dann aus der Forderung, daß die Widerstandänderung der Parallelschaltung des Sensors mit dem Parallelwiderstand in der unteren Hälfte des Meßbereichs genauso groß sein soll wie in der oberen.

 Bild 2.1

Aus Bild 2.1 läßt sich folgende Gleichung ableiten:

 Gleichung 2.1

Diese Gleichung wird nach Rp aufgelöst

 Gleichung 2.2

mit Rp = parallel Widerstand

Ru = unterer Widerstandswert des Bereiches

Rm = mittlerer Widerstandswert des Bereiches

Ro = oberer Widerstandswert des Bereiches

Der Gesamtwiderstand des Sensors Rg berechnet sich dann durch die Gleichung für parallel liegende Widerstände:

 Gleichung 2.3

Wird der Sensorwiderstand über eine Konstantspannungsquelle versorgt, wird der Widerstand Rp in Serie geschaltet (Bild 2.2). Bei der Versorgung durch eine Konstantstromquelle liegt er parallel (Bild 2.3).

 Bild 2.2    Bild 2.3

A c h t u n g

Da der resultierende Widerstand durch die Parallelschaltung verkleinert wird, bedeutet dies auch gleichzeitig eine Verringerung der Empfindlichkeit des Sensors.

Beispiel für die Linearisierung des KTY83 Temperatursensors:

Vorgaben: Gewünschter Arbeitsbereich -20 .. +60 °C
Rechnung: Tu = -20 °C Ru = 687 Ohm
To = +60 °C Ro = 1295 Ohm aus Datenblatt
Tm = +20 °C Rm = 961 Ohm

Gewählt wird Rp = 2000 W aus der E24-Reihe

T [°C] Rs(T) [Ohm] Rg(T) [Ohm]

-20

687

511,4

-10

750

545,5

0

817

580,0

10

887

614,5

20

961

649,1

30

1039

683,8

40

1121

718,4

50

1206

752,3

60

1295

786,0

Tabelle 2.1

Aus der in [10] angegebenen Wertetabelle und dem berechneten Linearisierungswiderstand Rp lassen sich die absoluten Fehler vor und nach der Linearisierung berechnen.

Gehen wir von einem linear anzeigenden Meßgerät aus, dann lassen sich durch die Gleichungen der linearen Regression aus den Funktionswerten der Ausgleichsgeraden berechnen.

 Gleichung 2.4

 Gleichung 2.5

mit xn = Rs(T) und yn = T
wird ms = 0.1312 und bs = -107.7

mit xn = Rp(T) und yn = T
wird mp = 0.2906 und bp = -168.6

Durch den Vergleich mit den aus [10] vorgegebenen Funktionswerten lassen sich dann die absoluten Fehler vor (Bild 2.4) und nach (Bild 2.5) der Linearisierung aufzeichnen.

T [°C] Ts [°C] Tp [°C]

-20

-17,6

-19,98

-10

-9,3

-10,08

0

-,05

-0,05

10

8,7

9,97

20

18,4

10,03

30

28,6

30,11

40

39,4

40,16

50

50,5

50,02

60

62,2

59,81

Tabelle 2.2

 Bild 2.4

 Bild 2.5

2.1.1.2 Linearisierung in der Signalkonditionierung

Ist der Kennlinienverlauf des Sensors bekannt, besteht eine weitere Form der Linearisierung darin, in der Auswerteelektronik mit Bausteinen der analogen Rechentechnik zu arbeiten (Addierer, Subtrahierer, Multiplikatoren, Quadrierer, usw.). Hiermit kann die Gegenfunktion für den Sensor gebildet werden. Diese Methode ist jedoch aufwendig und somit teuer. Sie bietet aber auch eine höhere Genauigkeit.

2.1.1.3 Linearisierung durch Tabellen

Wird die Linearisierung nach der Digitalisierung im Rechner vorgenommen, bietet sich die Möglichkeit an, mit Tabellen zu arbeiten. Dazu müßen jedoch zu jeder Meßgröße die entsprechenden Meßwerte bekannt sein. Dieses Verfahren kann zu sehr großen Tabellen führen, ist aber sehr genau.

Bei einer Auflösung von 12 Bit ergibt das eine Tabelle mit 4096 Integer Werten.

Beispieltabelle für KTY10

Meßbereich 0..50 °C
Meßspannung 0..5 Volt
Auflösung 12 Bit = 0.01221 °C/Bit = 1.2207 mV/Bit

T [°C] R [Ohm] Ua [V] Ud [Bit] Index

0

1638,75

0,0000

0000

0

10

1778,27

0,9131

02EC

748

20

1924,43

1,8696

05FB

1531

30

2077,23

2,8696

092E

2350

40

2236,67

3,9131

0C85

3205

50

2402,75

5,0000

0FFF

4095

Tabelle 2.3

Da die Tabellen in den Datenblättern nicht diesen geforderten Umfang besitzen gibt es zwei Möglichkeiten:

1. Durch die angegebene Gleichung sind die fehlenden Zwischenwerte zu berechnen oder

2. Man geht davon aus, daß sich der Sensor zwischen den angegebenen Werten linear verhält und interpoliert.

2.1.1.4 Linearisierung durch Polynome

Ein Speicherplatzsparendere Möglichkeit ergibt sich, wenn für den Sensor die Funktionsgleichung bekannt ist. Die digitalisierten Meßwerte können, durch einen Korrekturfaktor, direkt in die Gleichung eingegeben werden.

Beispiel für KTY10 mit Gleichung aus Datenblatt

 Gleichung 2.6

Die Gleichung wird nach TS umgestellt

 Gleichung 2.7

Um diese Gleichung benutzen zu können müßen wir RT durch einen Faktor k mit der Einheit W/Bit in einen Widerstandswert umwandeln, da er ja nach der Digitalisierung als Spannungswert vorliegt. Außerdem muß RT noch auf R0 bezogen werden, weil die Ausgangsspannung für R0 auf 0 Volt festgelegt wurde. Wir bekommen dadurch folgende Gleichung für die Berechnung von TS.

 Gleichung 2.8

mit

in Ohm/Bit

und URT = digitalisierte Spannung von RT in Bit


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